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title: 计算力学导论
author: 赖正首
lang: zh
date: 2025 年
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# 引言

计算力学是利用数值方法求解力学问题的学科。本章将介绍有限元方法的基本概念。

## 历史背景

有限元方法起源于 20 世纪 50 年代的航空工业。Turner 等人于 1956 年首次发表了关于有限元方法的系统性论文。

## 本章概述

本书将按以下结构组织：

- **第一章** 介绍有限元方法的基本原理
- **第二章** 讨论变分原理与弱形式
- **第三章** 探讨高阶有限元与谱方法

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# 有限元方法基础

## 强形式与弱形式

考虑一维泊松方程：

$$-u''(x) = f(x), \quad x \in (0, 1)$$

边界条件为 $u(0) = u(1) = 0$。

以下定理框使用 Typst 语法；`mytoolkit` 会在转 Typst 前自动包一层 raw，避免行首 `#` 被 Pandoc 转义。

#theorem(title: "解的存在唯一性")[
  设 $f \in L^2(0,1)$，则上述边值问题存在唯一弱解 $u \in H_0^1(0,1)$。
]

#proof[
  根据 Lax-Milgram 定理，双线性形式 $a(u, v) = \int_0^1 u' v' \, \mathrm{d}x$ 在 $H_0^1(0,1)$ 上是连续且强制的，线性泛函 $L(v) = \int_0^1 f v \, \mathrm{d}x$ 是连续的。因此存在唯一解。
]

## 伽辽金方法

#example(title: "一维泊松方程")[
  取试探空间 $V_h = \mathrm{span}\{\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_n\}$，其中 $\phi_i$ 为分段线性帽函数。则近似解可写为：

  $$u_h(x) = \sum_{j=1}^n u_j \phi_j(x)$$

  代入弱形式并取测试函数 $v = \phi_i$，得到线性方程组 $K u = F$。
]

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# 变分原理

## 极小位能原理

#lemma(title: "能量泛函的凸性")[
  定义能量泛函 $J(v) = \frac{1}{2} a(v, v) - L(v)$，则 $J$ 是严格凸的。
]

## 拉格朗日乘子法

对于有约束的优化问题，引入拉格朗日乘子：

$$\mathcal{L}(u, \lambda) = J(u) + \lambda^T (B u - g)$$

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# 高级主题

## 代码示例

以下是用 Python 实现的简单有限元求解器：

```python
import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
from scipy.sparse.linalg import spsolve

def assemble_stiffness(n):
    """组装一维刚度矩阵"""
    h = 1.0 / (n + 1)
    data = np.array([1/h] * (n-1) + [2/h] * n + [1/h] * (n-1))
    rows = np.array(list(range(n-1)) + list(range(n)) + list(range(1, n)))
    cols = np.array(list(range(1, n)) + list(range(n)) + list(range(n-1)))
    return csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(n, n))

def solve_poisson_1d(f, n):
    """求解一维泊松方程"""
    K = assemble_stiffness(n)
    h = 1.0 / (n + 1)
    F = h * f(np.linspace(h, 1-h, n))
    return spsolve(K, F)
```

## 练习

#exercise(title: "3.1")[
  证明一维线性有限元方法的收敛阶为 $O(h^2)$，即：

  $$|u - u_h|_1 \leq C h |u|_2$$

  其中 $C$ 为与 $h$ 无关的常数。
]

#exercise(title: "3.2")[
  编写程序计算二维正方形区域上的泊松方程，并与解析解比较收敛阶。
]